Introducimos nuevos problemas de mejor aproximación discreta, formulados y resueltos en el marco del álgebra tropical, que trata con semianillos y semicampos con adición idempotente. Dado un conjunto de muestras, cada una consistente en la entrada y salida de una función desconocida definida en un semicampo idempotente, el problema es encontrar una mejor aproximación de la función, mediante polinomios y funciones racionales tropicales de Puiseux. Se propone un nuevo enfoque de solución, que implica la reducción del problema de aproximación polinómica a la mejor solución aproximada de una ecuación vectorial lineal tropical con un vector desconocido en un lado (una ecuación unilateral). Obtenemos una solución aproximada óptima a la ecuación unilateral, y evaluamos el error de aproximación inherente en una forma analítica directa. Además, reducimos el problema de aproximación racional a la mejor solución aproximada de una ecuación con vectores desconocidos en ambos lados (una ecuación bilateral). Se obtiene una solución aproximada óptima a la ecuación bilateral en forma numérica, utilizando un algoritmo iterativo alternante. Para ilustrar la nueva técnica desarrollada, resolvemos problemas de aproximación de ejemplo en términos de un semicampo real, donde la adición se define como máximo y la multiplicación como adición aritmética (álgebra max-plus), que corresponde a la mejor aproximación de Chebyshev por funciones lineales a trozos.