En este artículo, estudiamos una inclusión integro-diferencial semilineal en espacios de Banach, bajo la acción de un número infinito de impulsos. Proporcionamos la existencia de soluciones suaves en una semirrecta mediante la técnica de extensión con memoria, que consiste en descomponer el problema en una secuencia iterada de problemas de Cauchy no impulsivos, cada uno de ellos originado por una solución del anterior. La clave que nos permite emplear este método es la definición de adecuadas funciones auxiliares con valores en conjuntos que imitan la no linealidad original en cualquier paso de la iteración del problema. Como ejemplo de aplicación, deducimos la controlabilidad de un proceso de dinámica de poblaciones con retardo distribuido e impulsos. Es decir, aseguramos la existencia de un par trayectoria-control, lo que significa una posible evolución de una población y de un control de retroalimentación para un sistema que experimenta cambios repentinos causados por fuerzas externas y depende de su pasado con memoria desvaneciente.