Se consideran ecuaciones lineales en espacios de Banach con una derivada fraccional distribuida dada por la integral de Stieltjes y con un operador cerrado en el lado derecho. A diferencia de las clases de ecuaciones previamente estudiadas con derivadas distribuidas, tales ecuaciones pueden contener una parte continua y una parte discreta de la integral, es decir, una integral estándar de la derivada fraccional con respecto a su orden y una combinación lineal de derivadas fraccionales con diferentes órdenes. Se introducen familias de operadores de resolución para tales ecuaciones en consideración, y se estudian sus propiedades. En términos del resolvente del operador, se obtienen condiciones necesarias y suficientes para la existencia de familias de resolución analítica de la ecuación en cuestión. Se demuestra un teorema de perturbación para esta clase de operadores, y se estudia el problema de Cauchy para la ecuación inhomogénea con una derivada fraccional distribuida. Se aplican resultados abstractos para la investigación de la solubilidad única de problemas de valores iniciales y de contorno para ecuaciones en derivadas parciales con una derivada distribuida con respecto al tiempo.