En este estudio, investigamos algunas nuevas propiedades de la secuencia de números bi-periódicos de Fibonacci con condiciones iniciales arbitrarias, a través de un enfoque que combina el aspecto de matriz y el sistema fundamental de Fibonacci. De hecho, al considerar las propiedades de los autovalores de su matriz relacionada, proporcionamos un nuevo enfoque para estudiar las representaciones analíticas de estos números. Además, la similitud de la matriz asociada con una matriz compañera, nos permite formular los números bi-periódicos de Fibonacci en términos de una secuencia recursiva lineal homogénea del tipo Fibonacci. Por lo tanto, se logran el aspecto combinatorio y otras fórmulas de representaciones analíticas del tipo Binet para los números bi-periódicos de Fibonacci. Se esboza el caso de los números bi-periódicos de Lucas y se exponen casos especiales. Finalmente, se presentan algunos ejemplos ilustrativos.