Recientemente se ha introducido la distribución de Lindley de Poisson inflada en cero-uno como una alternativa a la distribución de Poisson inflada en cero-uno para describir datos de conteo con un número sustancial de ceros y unos. Se presentan varias representaciones estocásticas de la distribución de Lindley de Poisson inflada en cero-uno y su equivalencia con algunas distribuciones conocidas bajo ciertas condiciones. Usando estas representaciones estocásticas, se discuten las propiedades de la distribución como los momentos "th", así como las distribuciones condicionales. Estas representaciones estocásticas pueden ser utilizadas para explicar la relación entre dos o más distribuciones. Se desarrollan y examinan varios tests de razón de verosimilitud para la presencia de inflación en uno y parámetros de tasa fija. Se encontró que los tests de razón de verosimilitud son potentes y tienen la capacidad de controlar las tasas de error a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Un tamaño de muestra de 1000 es aceptable y suficiente para que los tests de razón de verosimilitud sean útiles.