En este artículo, se considera el problema de resolver un problema de desigualdad variacional fuertemente monótono sobre el conjunto de solución de un problema de inclusión monótona en el contexto de espacios de Hilbert reales. Para resolver este problema, se presentan dos métodos, que son mejoras y modificaciones del método de división de Tseng, y métodos de proyección y contracción. Estos métodos están equipados con términos inerciales para mejorar su velocidad de convergencia. Se demuestran los resultados de convergencia fuerte de los métodos sugeridos bajo algunas suposiciones estándar sobre los parámetros de control. Además, se logran resultados de convergencia fuerte sin conocimiento previo de la norma del operador. Finalmente, los principales resultados de esta investigación se aplican para resolver problemas de desigualdad variacional en dos niveles, problemas de minimización convexa y problemas de recuperación de imágenes. Se realizan algunos experimentos numéricos para mostrar la eficacia de nuestros métodos.