Sea una topología en el conjunto finito . Consideramos el polinomio de conjuntos abiertos asociado con la topología . Sus coeficientes son las cardinalidades de conjuntos de conjuntos abiertos de tamaño . Demostramos que este polinomio tiene solo ceros reales solo en el caso trivial donde es la topología discreta. Por lo tanto, respondemos a una pregunta planteada por J. Brown. Damos una respuesta parcial a la pregunta: ¿para qué topología es este polinomio log-cóncavo, o al menos unimodal? Específicamente, demostramos que si la topología tiene un gran número de conjuntos abiertos, su polinomio abierto es unimodal. Se introduce la idea de grado de log-cóncavidad y se muestra que está limitada para polinomios de topologías no triviales. Además, se derivan las topologías de tamaño máximo que omiten conjuntos abiertos de tamaños dados. Además, se demuestra que todas las topologías sobre puntos con al menos conjuntos abiertos son unimodales, completando resultados anteriores.