Un grafo conectado, , es -conectado si hay un camino entre cada par de vértices sin cruces en sus aristas para cada dibujo óptimo de . Conjeturamos que un grafo completo tripartito, , es -conectado si y solo si no contiene ninguno de los siguientes como subgrafo: , , , , . Examinamos la idea de que , , , y son los primeros grafos tripartitos completos no -conectados. La -conectividad de con depende del conocimiento de los números de cruces de . En este artículo, demostramos varios resultados que respaldan esta conjetura.