En este documento, consideramos fracciones continuas con base en la razón áurea. Mostramos que si la expansión de la fracción continua de un número real no negativo es eventualmente periódica, entonces es la raíz de un polinomio cuadrático irreducible con coeficientes en y conjeturamos que la afirmación contraria es falsa, lo cual es diferente al teorema de Lagrange para las fracciones continuas regulares. Demostramos que el conjunto de constantes de Lévy de los puntos con expansión de fracción continua eventualmente periódica es denso en [, +), donde .