El concepto de la transformación de medidas de probabilidad, introducido para y , se examina en este trabajo desde la perspectiva de las familias de núcleos de Cauchy-Stieltjes (CSK) y sus funciones de varianza (VFs) relacionadas. Calculamos la fórmula de VF bajo la transformación de medidas. Además, la estabilidad de la familia Meixner libre () de medidas de probabilidad bajo la transformación se muestra significativamente basada en esta fórmula. Además, la familia de núcleos CSK del semicírculo de Wigner recibe una caracterización novedosa basada en la transformación de medidas de probabilidad.