En este documento, presentamos una nueva representación integral para los polinomios de Jacobi que se deriva de la representación de Koornwinder al introducir una nueva forma adecuada de la fórmula de Euler. A partir de esta representación, obtenemos una fórmula integral fraccional que expresa los polinomios de Jacobi en términos de los polinomios de Gegenbauer, indicando un procedimiento general para extender el esquema de polinomios clásicos de Askey en un paso. También podemos formular de manera adecuada los coeficientes espectrales de Fourier-Jacobi normalizados de una función en términos de los coeficientes coseno de Fourier de una transformada de tipo Abel adecuada que involucra una integral fraccional de la función misma. Este nuevo medio de representar los coeficientes espectrales puede ser beneficioso para el análisis numérico de problemas diferenciales y variacionales fraccionarios. Además, las propiedades de simetría hechas explícitas por esta representación nos llevan a identificar las clases de polinomios de Jacobi que admiten la extensión de la definición a valores negativos del índice. Finalmente, se presentan ejemplos de la aplicación de esta representación, con el objetivo de demostrar las propiedades de los coeficientes espectrales de Fourier-Jacobi.