Se realiza un estudio de isometrías lineales en espacios de Fréchet para los cuales la métrica se da en términos de una secuencia de seminormas. Esto establece condiciones suficientes sobre el crecimiento de la función que define la métrica en términos de las seminormas para asegurar que un operador lineal que preserva la métrica también preserve cada una de estas seminormas. Como aplicación, se dan caracterizaciones de las isometrías en varios espacios, incluidos los de funciones holomorfas en dominios complejos y funciones continuas en conjuntos abiertos, extendiendo el teorema de Banach-Stone a casos sobreyectivos y no sobreyectivos.