Se introduce una nueva clase de matrices definidas en términos de números de -Stirling. Estas matrices de -Stirling son totalmente positivas y determinan la transformación lineal entre las bases de polinomios monomiales y de -Bell. Se proporciona un algoritmo eficiente para el cálculo con alta precisión relativa de la factorización bidiagonal de las matrices de -Stirling y se utiliza para lograr cálculos con alta precisión relativa para la resolución de problemas algebraicos relevantes con matrices de colocación, Wronskiano y Gramian de bases de -Bell. La experimentación numérica confirma la precisión del procedimiento propuesto.