En este documento, proporcionamos una breve introducción a las principales nociones de teoría de grupos geométricos y de topología asintótica de grupos finitamente generados. Comenzaremos presentando las bases de los grupos discretos y de la topología en el infinito, luego enunciaremos algunos de los principales teoremas en estos campos. Nuestro objetivo es dar un ejemplo de cómo la presencia de una acción de grupo puede afectar la geometría del espacio subyacente y cómo, en muchos casos, los métodos topológicos pueden ayudar a determinar soluciones de problemas algebraicos que pueden parecer no relacionados.