Gray ha presentado la descomposición ortogonal invariante irreducible del espacio de todos los tensores covariantes de rango 3, obedeciendo solo las identidades del gradiente del tensor de Ricci. Esta descomposición introdujo las siete clases de variedades tipo Einstein, cuyos tensores de Ricci cumplen la condición definitoria de cada subespacio. La geometría a gran escala de tales variedades ha sido estudiada por muchos geómetras utilizando la técnica clásica de Bochner. Sin embargo, el alcance de este método está limitado a variedades riemannianas compactas. En el presente artículo, demostramos varios teoremas de tipo Liouville para ciertas clases de variedades completas tipo Einstein. Esto representa una ilustración de las nuevas posibilidades del análisis geométrico.