En este documento, abordamos el estudio de los tipos de conexiones Kobayashi-Nomizu y Yano en el haz tangente equipado con la métrica de Sasaki. Luego, determinamos los tensores de curvatura de estas conexiones. Además, encontramos condiciones bajo las cuales estas conexiones son libres de torsión, Codazzi y estructuras estadísticas, respectivamente, con respecto a la métrica de Sasaki. Finalmente, introducimos el tensor de curvatura mutuo en una variedad. Investigamos algunas de sus propiedades; además, estudiamos los tensores de curvatura mutuos en una variedad equipada con los tipos de conexiones Kobayashi-Nomizu y Yano.