Si es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert y es una isometría lineal dada en un espacio de Hilbert, presentamos condiciones necesarias y suficientes sobre en orden para asegurar la existencia de una isometría lineal tal que (es decir, se extiende ). Parametrizamos el conjunto de todas las soluciones de esta ecuación. Mostramos, por ejemplo, que para un operador unitario dado en un espacio de Hilbert y para el operador de multiplicación por la variable independiente en el espacio de Hardy, existe un operador isométrico tal que se extiende si y solo si es una contracción, el índice de defecto y, para algún , se extiende el operador isométrico en el espacio , donde es el límite asintótico asociado con . También demostramos que si es isométrico y es unitario, existe un operador isométrico tal que se extiende si y solo si (a) las medidas espectrales de la parte unitaria de (en su descomposición de Wold) y la restricción de a uno de sus subespacios reductores poseen funciones de multiplicidad idénticas y (b) para un cierto subespacio de que contiene y es invariante bajo . La forma precisa de , en cada situación, y las caracterizaciones de las condiciones de minimalidad también están incluidas. Se dan varios ejemplos con fines ilustrativos.