Demostramos que, si los coeficientes de una expansión de Fourier-Legendre satisfacen una condición adecuada de tipo Hausdorff, entonces la serie converge a una función que admite una extensión holomorfa a un plano cortado. A continuación, introducimos una transformación de tipo Laplace (llamada ) de la función de salto a través del corte. El resultado principal de este documento es establecer la conexión entre el y el en el sentido de Helgason. De esta manera, encontramos una conexión entre la representación unitaria de y la serie principal de la representación unitaria de .