Considere el grupo modular generado por las transformaciones y . Sea el subgrupo propio de , donde . Para un entero positivo libre de cuadrados , este artículo estudia la acción de en el subconjunto del campo de números cuadráticos imaginarios donde, en particular, se da una estimación precisa del número de órbitas que surgen de esta acción, corrigiendo la estimación dada en parte de la literatura relevante.