El propósito de este documento es examinar el comportamiento de un anillo de factores con un rango parcial de un anillo , donde es un ideal primo de y es un ideal no nulo de tal que . Para lograr este objetivo, utilizaremos identidades algebraicas específicas que involucran y están relacionadas con -derivaciones generalizadas y , asociadas con -derivaciones y , respectivamente, donde y son automorfismos de . Además, enumeraremos algunas consecuencias importantes relacionadas. Finalmente, proporcionaremos un ejemplo ilustrativo para enfatizar la importancia de las hipótesis impuestas en nuestros teoremas.