En este artículo, retrocedemos casi 200 años hasta Christoph Gudermann, el gran experto en funciones elípticas, quien logró colocar con éxito las doce funciones de Jacobi en un entorno didáctico. Demostramos nuevamente las expansiones de series hiperbólicas de segundo orden para funciones elípticas, y expresamos generalizaciones de muchas de las fórmulas de Gudermann en la notación moderna de Carlson. Las transformaciones entre cuadrados de funciones elípticas pueden expresarse como transformaciones de Möbius generales, y se presenta una conjetura de doce fórmulas, ampliando una fórmula gudermanniana. En la segunda parte del artículo, consideramos las fórmulas correspondientes para funciones modulares hiperbólicas, y demostramos que estas transformaciones de Möbius pueden utilizarse para demostrar fórmulas integrales para las inversas de funciones modulares hiperbólicas, que son de hecho transformaciones de Schwarz-Christoffel. Finalmente, presentamos las fórmulas más simples para las funciones Peeta de Gudermann, variaciones de las funciones theta de Jacobi.