Varios índices topológicos son posiblemente los descriptores de estructuras moleculares basadas en grafos más ampliamente aplicados en química y farmacología. La capacidad de los índices topológicos para discriminar es un componente crucial de su estudio. En este sentido, la literatura ha introducido el índice topológico basado en el grado exponencial de vértices. El índice de conectividad átomo-enlace exponencial se define de la siguiente manera: donde es el grado del vértice en . En este documento, demostramos que la doble estrella es el segundo grafo maximal con respecto al índice de árboles de orden . Damos una cota superior de los grafos unicíclicos de orden y caracterizamos los grafos maximales. El grafo da el grafo maximal con respecto al índice de grafos bicíclicos de orden . Presentamos varias relaciones entre y del grafo . Finalmente, proporcionamos una conclusión resumiendo nuestros hallazgos y discutimos posibles direcciones para futuras investigaciones.