Los sistemas de aritmética discutidos en este trabajo son teorías no elementales. En este papel, los números naturales se caracterizan axiomáticamente de dos maneras diferentes. Comenzamos recordando el conjunto clásico de axiomas de la aritmética de los números naturales de Peano propuesta en 1889 (incluyendo nociones primitivas como: conjunto de números naturales, cero, sucesor de número natural) y lo comparamos con el conjunto de axiomas de esta aritmética (incluyendo las nociones primitivas como: conjunto de números naturales y relación de desigualdad) propuesta por Witold Wilkosz, un lógico, filósofo y matemático polaco, en 1932. Los axiomas son los de conjuntos ordenados sin elemento mayor, en los cuales cada conjunto no vacío tiene un elemento menor, y cada conjunto acotado desde arriba tiene un elemento mayor. Mostramos que y son equivalentes y también que los sistemas de aritmética basados en o en son categóricos y consistentes. A continuación, se presentan un conjunto de axiomas intuitivos de aritmética de enteros, modelados en y propuestos por B. Iwanu, así como un conjunto de axiomas de esta aritmética, modelados en los axiomas, y también son equivalentes, categóricos y consistentes. También discutimos el problema de la independencia de conjuntos de axiomas, que se trataron anteriormente.