En este trabajo, estudiamos las propiedades de las trayectorias de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias generadas por el campo de velocidad de un fluido viscoelástico incompresible en movimiento con memoria a lo largo de las trayectorias en un dominio con múltiples componentes de frontera. Se considera el caso de un campo de velocidad de un espacio de Sobolev con condiciones de frontera no homogéneas. Se investigan las propiedades de los intervalos máximos de existencia de soluciones al problema de Cauchy correspondiente a un campo de velocidad dado. El estudio asume la aproximación de un campo de velocidad por una secuencia de campos suaves seguida de un paso al límite. Se utiliza la teoría de flujos Lagrangianos regulares.