En el presente artículo, introducimos y estudiamos mapas Riemannianos -cuasi-hemi-slant (en resumen, -qhs) y mapas Riemannianos casi -qhs de variedades casi cuaterniónicas hermíticas a variedades Riemannianas. Investigamos algunos resultados fundamentales principalmente sobre mapas Riemannianos -qhs: la integrabilidad de distribuciones, geometría de foliaciones, la condición para que dichos mapas sean totalmente geodésicos, etc. Al final de este artículo, proporcionamos dos ejemplos no triviales de esta noción.