En este trabajo, estudiamos las relaciones entre la probabilidad libre en productos cruzados de álgebras con una álgebra de von Neumann sobre campos de números -ádicos (para primos ), y la probabilidad libre en la subálgebra , generada por la función totiente de Euler , del álgebra aritmética , que consiste en todas las funciones aritméticas. En particular, aplicamos dicha probabilidad libre para considerar propiedades operatorias y operatoriales de sistemas -dinámicos inducidos por bajo técnicas de probabilidad libre (y por ende, espectrales).