Considerando las soluciones de una clase de sistemas elípticos no cooperativos de tipo Kirchhoff-Laplaciano con condiciones de contorno no lineales, derivamos una secuencia de soluciones utilizando tanto el método variacional como la teoría del índice límite bajo ciertas suposiciones subyacentes. La novedad de este estudio es que verificamos la condición utilizando otro método, divergiendo de los enfoques citados en la literatura previa.