Estudiamos un potencial dependiente de la energía relacionado con el potencial de Rosen-Morse. Damos en forma cerrada la expresión de un sistema de autofunciones del operador de Schrödinger en términos de una clase de funciones asociadas a una familia de polinomios para-ortogonales hipergeométricos en el círculo unitario. También presentamos relaciones modificadas de ortogonalidad y una fórmula asintótica. En consecuencia, se pueden obtener soluciones de estado ligado para algunos valores de los parámetros que definen el modelo. Como caso particular, obtenemos el potencial de Rosen-Morse trigonométrico simétrico para el cual existe una base ortogonal de estados propios en un espacio de Hilbert. Al comparar las soluciones existentes para el potencial de Rosen-Morse trigonométrico simétrico, se obtiene una identidad que involucra polinomios de Gegenbauer.