El objetivo de este artículo es demostrar la existencia de una solución positiva única a ecuaciones no locales de Laplaciano fraccional de tipo Brézis-Oswald que involucran potenciales de Hardy. La característica principal de este artículo es resolver la dificultad que surge en la presencia de un coeficiente singular y en la falta de la propiedad de semicontinuidad de una funcional de energía asociada con el problema relevante. La principal herramienta para superar esta dificultad es el principio de concentración-compacidad en espacios de Sobolev fraccionarios. Además, el resultado de unicidad de tipo Brézis-Oswald se obtiene explotando la desigualdad discreta de Picone.