El problema de valor de frontera de Sturm-Liouville (SLBVP) se erige como una piedra angular fundamental en el ámbito del análisis matemático y modelado físico. También conocido como problema de Sturm-Liouville (SLP), este documento explora las complejidades de este problema clásico, en particular la relación entre sus formas canónica y normal de Liouville (Schrödinger). Aunque la conversión de la forma canónica a la forma de Schrödinger utilizando la transformación de Liouville es bien conocida en la literatura, la transformación inversa parece ser descuidada. Nuestro estudio intenta llenar este vacío investigando la inversa de la transformación de Liouville, es decir, dado cualquier SLP en la forma de Schrödinger con alguna función invariante, buscamos el SLP en su forma canónica. Al examinar de cerca el segundo problema de Paine-de Hoog-Anderson (PdHA), argumentamos que recuperar el SLP en su forma canónica puede ser notoriamente difícil e incluso imposible de lograr en su forma exacta. Encontrar la relación inversa entre las dos variables independientes parece ser el principal obstáculo. Confirmamos esta afirmación considerando cuatro escenarios diferentes, dependiendo de las funciones de potencial y densidad que aparecen en la función invariante correspondiente. En el segundo problema de PdHA, esta función invariante toma una forma binomial cuadrática recíproca. En algunos casos, la transformación inversa de Liouville produce una expresión exacta para el SLP en su forma canónica. Sin embargo, en otras situaciones, aunque no es posible obtener una forma canónica exacta, logramos derivar con éxito el SLP en su forma canónica de manera asintótica.