Se investiga una familia de ecuaciones de matemáticas de la física con tres variables independientes, altamente no lineales y no estacionarias, que contienen un grado arbitrario de la primera derivada con respecto al tiempo y una combinación cuadrática de segundas derivadas con respecto a variables espaciales del tipo Monge-Ampère. Las ecuaciones de esta familia se encuentran, por ejemplo, en la magnetohidrodinámica de electrones y la geometría diferencial. Se investigan las simetrías de las ecuaciones parabólicas de Monge-Ampère consideradas mediante métodos de análisis de grupos. Se obtienen fórmulas que permiten construir familias de soluciones de múltiples parámetros basadas en soluciones más simples. Se consideran reducciones de simetría bidimensional y unidimensional, que conducen a la ecuación original a ecuaciones diferenciales parciales más simples con dos variables independientes o ecuaciones diferenciales ordinarias o sistemas de tales ecuaciones. Se describen soluciones invariantes auto-similares y otras. Se construyen una serie de nuevas soluciones exactas mediante métodos de separación generalizada y funcional de variables, muchas de las cuales se expresan en funciones elementales o en cuadraturas. Para obtener soluciones exactas, también se utilizó el principio de la analogía estructural de soluciones, así como varias combinaciones de todos los métodos mencionados anteriormente. Además, algunas soluciones se construyen mediante transformaciones auxiliares de puntos intermedios o de contacto. Las soluciones exactas obtenidas pueden usarse como problemas de prueba destinados a verificar la adecuación y evaluar la precisión de los métodos numéricos y analíticos aproximados para resolver problemas descritos por ecuaciones altamente no lineales de física matemática.