La estructura del grupo de simetría de Weyl afín extendido de las ecuaciones de Painlevé superiores de periodicidad depende de si es par o impar. Encontramos que para pares, el grupo de simetría contiene las transformaciones convencionales de Bäcklund, el grupo de automorfismos que consiste en permutaciones cíclicas pero también reflejos en un círculo periódico de puntos, lo cual es una característica novedosa descubierta en este documento. La presencia de automorfismos de reflexión está conectada a la existencia de soluciones degeneradas, y para , mostramos explícitamente cómo los automorfismos de reflexión pares causan la degeneración de una clase de soluciones racionales obtenidas en la órbita de los operadores de traslación de . Obtenemos las expresiones cerradas para las soluciones y sus contrapartes degeneradas en términos de los determinantes de los polinomios de Kummer.