Hacemos uso de iteraciones generalizadas de la fuerza de Sacks para definir extensiones genéricas que preservan cardinales del universo constructible en las cuales se cumplen los axiomas de y además, o bien (1) falla el axioma de elección contable sin parámetros, o bien (2) se cumple pero falla el axioma de elección contable completo en el dominio de los números reales. En otra extensión genérica de , definimos un conjunto , que es un modelo de la parte sin parámetros de la aritmética de Peano de segundo orden, en la cual se cumple (Comprensión para fórmulas con parámetros), sin embargo, falla una instancia de Comprensión para una fórmula más compleja. Tratando la fuerza de Sacks iterada como una fuerza de clase sobre , inferimos los siguientes resultados de consistencia como corolarios. Si la aritmética de Peano de segundo orden es formalmente consistente, entonces también lo son las teorías: (1) , (2) , (3) .