Este documento trata sobre espacios extremadamente desconectados y espacios extremadamente desconectados -espacios. Un espacio se dice que es extremadamente desconectado si, para cada subconjunto abierto de , el cierre de en es también un conjunto abierto. Los -espacios son espacios en los que la intersección de un número contable de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Los autores presentan una nueva caracterización de espacios extremadamente desconectados, y los extremadamente desconectados -espacios, mediante la teoría de selección. Si es un espacio extremadamente desconectado o un -espacio extremadamente desconectado, entonces los teoremas habituales de extensión de funciones continuas valuadas en números reales para un subconjunto denso de se pueden deducir de nuestros resultados. Un corolario de nuestros resultados es que cada espacio no discreto de cardinalidad no mensurable tiene un subconjunto denso tal que no está -incrustado en .