El operador, donde se encuentra el conocido operador de diferencia central, es considerado. Se determinan las secuencias polinomiales impares y pares asociadas y se estudian sus generalizaciones. En particular, se proporcionan formas de matriz y determinante, fórmulas de recurrencia, funciones generadoras y un algoritmo para cálculos efectivos. También se demuestra una propiedad interesante de biortogonalidad. Se presentan nuevos ejemplos de secuencias polinomiales centrales impares y pares.