Este documento define una gran clase de variedades diferenciables que albergan dos problemas óptimos distintos llamados problema afín-cuadrático y problema de rodadura. Mostramos conexiones notables entre estos dos problemas manifestadas por los hamiltonianos asociados obtenidos por el Principio del Máximo de control óptimo. También demostramos que cada uno de estos hamiltonianos es completamente integrable, en el sentido de Liouville. Finalmente, demostramos la importancia de estos resultados para la teoría de sistemas mecánicos.