En este documento se abordan los siguientes tres objetivos. El primero es estudiar algunas ecuaciones diferenciales parciales (EDP) fuertes que implican planitud de curvatura, en los casos de conexión simétrica y no simétrica. Aunque la idea de planitud de curvatura es clásica para la conexión simétrica, nuestros principales teoremas sobre soluciones de planitud son completamente nuevos, dejando por un tiempo el punto de vista de la geometría diferencial y entrando en el de las EDP. El segundo objetivo es introducir y estudiar algunas relaciones diferenciales parciales fuertes asociadas a la planitud de curvatura. El tercer objetivo es introducir y analizar algunos espacios vectoriales de objetos exóticos que cambian el significado de un operador de proyección delta de Kronecker generalizado, con el fin de descubrir nuevas EDP que implican planitud de curvatura. Ejemplos significativos aclaran algunas ideas.