Actualmente, hay un gran interés renovado en demostrar la transitividad topológica de varias clases de sistemas dinámicos continuos. Aunque esta es una de las propiedades dinámicas más básicas que se pueden investigar, las herramientas utilizadas por diversos autores son bastante diversas y están fuertemente relacionadas con la clase de sistemas dinámicos en consideración. El objetivo de este artículo de revisión es presentar el estado del arte para la clase de extensiones de Hölder de sistemas hiperbólicos con fibra de grupo de Lie conectado no compacto. Los sistemas hiperbólicos que consideramos son principalmente de tiempo discreto. En particular, abordamos la estabilidad y la genericidad de la transitividad topológica en grandes clases de tales transformaciones. El artículo enumera varios problemas abiertos y conjeturas e intenta situar este tema de investigación en el contexto general de la dinámica hiperbólica y topológica.