La noción de par de grupos finitos emparejados fue introducida por Takeuchi en 1981, lo cual es equivalente a una factorización del grupo. Encontramos en este documento algunas condiciones suficientes cuando las ecuaciones para todos implican que es el producto directo externo de , donde denota el -ésimo indicador de la representación regular de un grupo finito. También se menciona una comparación con los indicadores de las álgebras de Hopf producto bismash.