Una nueva función de distancia llamada distancia de resistencia fue introducida en base a la teoría de redes eléctricas. La distancia de resistencia entre dos vértices en un grafo se define como la resistencia efectiva entre ellos cuando se colocan resistencias unitarias en cada arista del grafo. El índice de grado-Kirchhoff de un grafo es la suma del producto de las distancias de resistencia y los grados entre todos los pares de vértices del grafo. En este artículo, de acuerdo con el teorema de descomposición para el polinomio laplaciano normalizado de la cadena de derivación pentagonal lineal, se determina el espectro laplaciano normalizado del grafo. Combinando con la relación entre las raíces y los coeficientes de los polinomios característicos, se pueden obtener las fórmulas explícitas en forma cerrada para el índice de grado-Kirchhoff y el número de árboles de expansión del grafo, respectivamente. Además, también obtenemos el índice de Gutman del grafo y descubrimos que el índice de grado-Kirchhoff del grafo es casi la mitad de su índice de Gutman.