Estudiamos el análisis de convergencia local de un método de quinto orden y su versión de varios pasos en espacios de Banach. Las hipótesis utilizadas se basan únicamente en la primera derivada de Fréchet. El nuevo enfoque proporciona un radio de convergencia computable, límites de error en las distancias involucradas y estimaciones sobre la unicidad de la solución. Tales estimaciones no se proporcionan en los enfoques que utilizan expansiones de Taylor de derivadas de orden superior, que pueden no existir o ser muy costosas o imposibles de calcular. Se proporcionan ejemplos numéricos para validar los resultados teóricos. Los dominios de convergencia de los métodos también se verifican a través de la geometría compleja mostrada dibujando cuencas de atracción. Los límites de las cuencas muestran formas similares a fractales a través de las cuales las cuencas son simétricas.