Relacionamos la definición de un espacio ultramétrico con el algoritmo de distancia topológica, un algoritmo definido en el contexto de aplicaciones de redes peer-to-peer. Aunque los algoritmos (codiciosos) para construir árboles de expansión mínima, como el algoritmo de Prim o el de Kruskal, han sido conocidos durante mucho tiempo, requieren que se especifique el grafo completo y que se conozcan de antemano los pesos de todos los bordes para construir un árbol de expansión mínima. Sin embargo, si los pesos del grafo subyacente provienen de un ultramétrico, el árbol de expansión mínima se puede construir de manera incremental y no es necesario conocer el grafo completo de antemano. Esto es posible porque el algoritmo de unión responsable de unir nuevos nodos en nombre del algoritmo de distancia topológica es independiente del orden en que se añaden los nodos debido a la propiedad de un ultramétrico. Aparte de la elegancia matemática que algunos lectores podrían encontrar interesante por sí misma, esto proporciona no solo pruebas (y más claras en opinión del autor) para los teoremas de optimalidad (es decir, prueba de la construcción del árbol de expansión mínima) sino también una prueba simple para la optimalidad del algoritmo de reconstrucción que también se omitió en publicaciones anteriores. Además, definimos un nuevo algoritmo al extender el algoritmo de unión para minimizar la distancia topológica y la latencia (de red) juntas y proporcionamos una prueba de corrección.