La desigualdad de Hermite-Hadamard es una doble desigualdad que proporciona límites superiores e inferiores de la media (integral) de una función convexa sobre un cierto intervalo. Además, la convexidad de una función puede ser caracterizada por cada uno de los dos lados de esta desigualdad. Por otro lado, es bien sabido que una función dos veces diferenciable es convexa, si y solo si admite una segunda derivada no negativa. En este artículo, obtenemos una caracterización de una clase de funciones dos veces diferenciables (incluyendo la clase de funciones convexas) que satisfacen desigualdades diferenciales de segundo orden. También se discuten algunos casos especiales.