En este trabajo, consideramos una clase de problemas de desigualdad variacional débil de vector débil no suave (abreviado como WVVHVIP) en el marco de las variedades de Hadamard. Al emplear un análogo del lema KKM, establecemos la existencia de soluciones para WVVHVIP sin utilizar ninguna suposición de monotonicidad. Además, se establece un resultado de unicidad para las soluciones de WVVHVIP utilizando suposiciones de monotonicidad fuerte geodésica generalizada. Formulamos funciones de brecha de tipo Auslender, regularizadas y regularizadas de Moreau-Yosida para WVVHVIP para establecer condiciones necesarias y suficientes para la existencia de las soluciones de WVVHVIP. Además, al emplear las funciones de brecha de tipo Auslender, regularizadas y regularizadas de Moreau-Yosida, derivamos los límites de error globales para la solución de WVVHVIP bajo las suposiciones de monotonicidad fuerte geodésica generalizada. Se proporcionan varios ejemplos no triviales en el contexto de la variedad de Hadamard para ilustrar la importancia de los resultados establecidos. Hasta donde sabemos, esta es la primera vez que los resultados de existencia, funciones de brecha y límites de error globales para WVVHVIP se han investigado en el marco de las variedades de Hadamard a través de subdiferenciales de Clarke.