En este artículo, presentamos un nuevo algoritmo iterativo de tipo mixto para la aproximación de puntos fijos comunes de dos aplicaciones multivaluadas casi contractivas y dos aplicaciones multivaluadas que satisfacen una condición en espacios hiperbólicos. Consideramos nuevos conceptos de débil-estabilidad y resultados de dependencia de datos que involucran dos aplicaciones multivaluadas casi contractivas. Proporcionamos ejemplos de aplicaciones multivaluadas casi contractivas para mostrar la ventaja de nuestro nuevo algoritmo iterativo sobre algunos algoritmos iterativos existentes. Además, demostramos varios teoremas de delta-convergencia fuerte de nuestro nuevo algoritmo en espacios hiperbólicos. Además, con otro ejemplo novedoso, realizamos un experimento numérico para comparar la eficiencia y aplicabilidad de un nuevo algoritmo iterativo con varios algoritmos iterativos líderes. Los resultados en este artículo amplían y mejoran varios resultados existentes del ámbito de espacios lineales y CAT(0) a espacios hiperbólicos. Nuestros resultados principales también amplían varios resultados existentes del ámbito de aplicaciones univaluadas al de aplicaciones multivaluadas.