Consideramos una desigualdad variacional dependiente de la historia en un espacio de Hilbert real, para la cual recordamos un resultado de existencia y unicidad. Asociamos esta desigualdad con una función de brecha, junto con dos problemas adicionales: una ecuación no lineal y un problema de minimización. Luego, demostramos que resolver estos problemas es equivalente a resolver la desigualdad variacional dependiente de la historia original. A continuación, enunciamos y demostramos un criterio de convergencia, es decir, proporcionamos condiciones necesarias y suficientes que garantizan la convergencia de una secuencia de funciones a la solución de la desigualdad considerada. Basándonos en la equivalencia anterior, deducimos varias consecuencias que presentan cierto interés por sí mismas, y, además, obtenemos resultados de convergencia para los dos problemas adicionales considerados. Finalmente, aplicamos nuestros resultados abstractos al estudio de un problema de desigualdad en mecánica de sólidos. Se trata del estudio de una ley constitutiva viscoelástica con memoria larga y restricciones unilaterales, para la cual deducimos un resultado de convergencia y proporcionamos las interpretaciones mecánicas correspondientes.