El objetivo del presente artículo de investigación es investigar la existencia y unicidad de una solución a la ecuación integral y el resultado de homotopía. Para lograr nuestro objetivo, introducimos la noción de ()-contracción en el marco del espacio métrico bipolar y demostramos algunos resultados de punto fijo para aplicaciones covariantes y contravariantes. Algunos resultados acoplados de punto fijo en el espacio métrico bipolar se derivan como consecuencia de nuestros teoremas principales. También se proporciona un ejemplo no trivial para validar la autenticidad de los resultados establecidos.