En este trabajo se resuelve de forma analítica la función exponencial de matrices para los grupos ortogonales especiales hasta . El número de potencias de matriz de orden -ésimo que aparecen se limita a través de la relación de Cayley-Hamilton. Los coeficientes de expansión correspondientes pueden expresarse como funciones coseno y seno de una norma de vector y las raíces de una ecuación polinómica que depende de unos pocos invariantes específicos. Además del caso bien conocido de , se necesita resolver una ecuación cuadrática para , una ecuación cúbica para , y una ecuación cuártica para . Como un subgrupo interesante de , el grupo de Lie excepcional de dimensión 14 se construye a través de la función exponencial de matrices mediante una restricción notablemente simple en un invariante, . Las trazas de las -matrices que surgen de la función exponencial son sumas de cosenos de varios ángulos. Esta característica confirma que el método empleado es equivalente a la exponenciación después de la diagonalización, pero evita los valores y vectores propios complejos y opera solo con cantidades de valor real.