Aplicamos la teoría de relaciones de recurrencia lineal disconjugadas al estudio de cantidades irracionales en teoría de números. En particular, para un número irracional asociado con soluciones de relaciones de recurrencia lineal de tres términos, mostramos que existe una relación de recurrencia lineal de cuatro términos cuyas soluciones demuestran que el número tiene un cuadrado irracional si y solo si la relación de recurrencia de cuatro términos tiene una solución principal de un cierto tipo. El resultado se extiende a relaciones de recurrencia de orden superior, y un criterio de trascendencia también puede formularse en términos de estas soluciones principales. El método genera nuevas expansiones en series de potencias de enteros positivos de y en términos de las secuencias clásicas de Apéry.