Consideramos un problema de valor límite singularmente perturbado. La función se supone que es suficientemente suave y que tiene el único mínimo en el dominio. Este mínimo puede degenerarse. El potencial no tiene otros puntos estacionarios en y su derivada normal en el límite no es cero. Dicho problema surge al estudiar el movimiento browniano gobernado por la dinámica de Langevin sobreamortiguada en presencia de un único punto atractivo. Describe la distribución de los puntos en el límite, en los cuales las trayectorias de la partícula browniana alcanzan el límite por primera vez. Nuestro principal resultado es una expansión asintótica completa para a medida que . Esta asíntota es la suma de un término y una capa límite, donde es la función propia asociada con el valor propio más bajo del problema considerado y es alguna constante. Proporcionamos expansiones asintóticas completas tanto para como para ; la capa límite también es una serie asintótica infinita en potencias de . El término de error en las asíntotas para es estimado en varias normas.